pourquoi les mathématiques sont elles vraies?
Sujets / La raison et le réel / La démonstration /
Un début de problématisation ...
Introduction :Si les mathématiques ont longtemps exercé une fascination, ce n’est pas seulement en raison de la rigueur de la démonstration, mais aussi parce qu’elles semblaient être le seul domaine du savoir où la polémique était absente. Seulement, la faille, c’est que l’absolutisme que la science classique a cru trouver dans l’idéal de la mathesis universalis est tombé sous les coups très sévères des mathématiciens eux-mêmes.
Un peu d’histoire des mathématiques. Tout lycéen sait que la géométrie est une discipline déductive. Tout lycéen a appris au cours de ses études qu’elle se différencie des sciences de la Nature, telles que la physique et la biologie. Dans les sciences de la Nature, en effet, la théorie reste dépendante, quant à sa véracité, de l’expérimentation et de l’observation. Si la théorie est oeuvre de l’esprit, la preuve doit venir des faits. A l’inverse, ce qui fait le succès de la géométrie, c’est la méthode axiomatique utilisée depuis Euclide, méthode par laquelle on peut démontrer des théorèmes en utilisant uniquement la logique et des axiomes de base. Un exemple célèbre est le fameux :
Par deux points, on ne peut mener qu’une droite.
Ce qui est remarquable, c’est que dans la démonstration, on se passe de toute vérification par l’expérience. Dans le théorème qui montre que les trois angles du triangle font deux droits, une fois que nous disposons de la démonstration, il est inutile prendre un rapporteur pour vérifier tous les triangles qui existent pour savoir s’ils forment deux droits. Le côté évident des axiomes, allié à la démarche implacable de la déduction, font que le résultat ne peut être que vrai. Aussi comprenons-nous pourquoi la géométrie euclidienne est restée un modèle de démonstration scientifique depuis deux milles ans. La tentation a bien sûr consisté à vouloir axiomatiser toutes les branches des mathématiques, l’idée étant que l’on pourrait déduire logiquement des ses axiomes toutes les vérités contenues dans les mathématiques.
De ce point de vue, pourquoi les mathématiques sont-elles vraies ?
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